Matemática básica Ejemplos

$6^{a + 2} = 64 \cdot 3^{a + 2}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (6^{a + 2}) = \ln (64 \cdot 3^{a + 2})$

Paso 2

Expande $\ln (6^{a + 2})$ ; para ello, mueve $a + 2$ fuera del logaritmo.

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64 \cdot 3^{a + 2})$

Paso 3

Reescribe $\ln (64 \cdot 3^{a + 2})$ como $\ln (64) + \ln (3^{a + 2})$ .

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64) + \ln (3^{a + 2})$

Paso 4

Expande $\ln (3^{a + 2})$ ; para ello, mueve $a + 2$ fuera del logaritmo.

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $(a + 2) \ln (6)$ .

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a \ln (6) + 2 \ln (6) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Paso 5.1.1.2

Simplifica $2 \ln (6)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$a \ln (6) + \ln (6^{2}) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Paso 5.1.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\ln (64) + (a + 2) \ln (3)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + 2 \ln (3)$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica $2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + \ln (3^{2})$

Paso 5.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + \ln (9)$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = a \ln (3) + \ln (64 \cdot 9)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $64$ por $9$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = a \ln (3) + \ln (576)$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$a \ln (6) + \ln (36) - a \ln (3) - \ln (576) = 0$

Paso 5.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36}{576}) = 0$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $36$ y $576$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 (1)}{576}) = 0$

Paso 5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.1

Factoriza $36$ de $576$ .

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 16}) = 0$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 16}) = 0$

Paso 5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{1}{16}) = 0$

Paso 5.6

Resta $\ln (\frac{1}{16})$ de ambos lados de la ecuación.

$a \ln (6) - a \ln (3) = - \ln (\frac{1}{16})$

Paso 5.7

Factoriza $a$ de $a \ln (6) - a \ln (3)$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $a$ de $a \ln (6)$ .

$a (\ln (6)) - a \ln (3) = - \ln (\frac{1}{16})$

Paso 5.7.2

Factoriza $a$ de $- a \ln (3)$ .

$a (\ln (6)) + a (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Paso 5.7.3

Factoriza $a$ de $a (\ln (6)) + a (- 1 \ln (3))$ .

$a (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Paso 5.8

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Paso 5.9

Divide cada término en $a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$ por $\ln (6) - \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 5.9.1

Divide cada término en $a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$ por $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{a (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 5.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (6) - \ln (3)$ .

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Paso 5.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 5.9.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 5.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{\ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$a = - \frac{\ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$a = 4$